\(\int (d \sec (e+f x))^m (a+b \tan ^2(e+f x))^p \, dx\) [475]

Optimal result

Integrand size = 25, antiderivative size = 108 \[ \int (d \sec (e+f x))^m \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \, dx=\frac {\operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},1-\frac {m}{2},-p,\frac {3}{2},-\tan ^2(e+f x),-\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}\right ) (d \sec (e+f x))^m \sec ^2(e+f x)^{-m/2} \tan (e+f x) \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \left (1+\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}\right )^{-p}}{f} \]

[Out]

AppellF1(1/2,1-1/2*m,-p,3/2,-tan(f*x+e)^2,-b*tan(f*x+e)^2/a)*(d*sec(f*x+e))^m*tan(f*x+e)*(a+b*tan(f*x+e)^2)^p/
f/((sec(f*x+e)^2)^(1/2*m))/((1+b*tan(f*x+e)^2/a)^p)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.12 (sec) , antiderivative size = 108, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 3, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.120, Rules used = {3760, 441, 440} \[ \int (d \sec (e+f x))^m \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \, dx=\frac {\tan (e+f x) \sec ^2(e+f x)^{-m/2} (d \sec (e+f x))^m \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \left (\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}+1\right )^{-p} \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},1-\frac {m}{2},-p,\frac {3}{2},-\tan ^2(e+f x),-\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}\right )}{f} \]

[In]

Int[(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p,x]

[Out]

(AppellF1[1/2, 1 - m/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(d*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]*(a
+ b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)

Rule 440

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/n, -p,
-q, 1 + 1/n, (-b)*(x^n/a), (-d)*(x^n/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n
, -1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

Rule 441

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Dist[a^IntPart[p]*((a + b*x^n)^F
racPart[p]/(1 + b*(x^n/a))^FracPart[p]), Int[(1 + b*(x^n/a))^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n,
p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n, -1] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[a, 0])

Rule 3760

Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{ff
= FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[ff*((d*Sec[e + f*x])^m/(f*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2))), Subst[Int[(1 + ff^2*
x^2)^(m/2 - 1)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !Intege
rQ[m]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\left ((d \sec (e+f x))^m \sec ^2(e+f x)^{-m/2}\right ) \text {Subst}\left (\int \left (1+x^2\right )^{-1+\frac {m}{2}} \left (a+b x^2\right )^p \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{f} \\ & = \frac {\left ((d \sec (e+f x))^m \sec ^2(e+f x)^{-m/2} \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \left (1+\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}\right )^{-p}\right ) \text {Subst}\left (\int \left (1+x^2\right )^{-1+\frac {m}{2}} \left (1+\frac {b x^2}{a}\right )^p \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{f} \\ & = \frac {\operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},1-\frac {m}{2},-p,\frac {3}{2},-\tan ^2(e+f x),-\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}\right ) (d \sec (e+f x))^m \sec ^2(e+f x)^{-m/2} \tan (e+f x) \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \left (1+\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}\right )^{-p}}{f} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (warning: unable to verify)

Leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(2033\) vs. \(2(108)=216\).

Time = 16.97 (sec) , antiderivative size = 2033, normalized size of antiderivative = 18.82 \[ \int (d \sec (e+f x))^m \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p,x]

[Out]

(3*a*AppellF1[1/2, 1 - m/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(d*Sec[e + f*x])^m*(Sec[e + f*x
]^2)^(-1 + m/2)*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(2*p))/(f*(3*a*AppellF1[1/2, 1 - m/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*
x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + (2*b*p*AppellF1[3/2, 1 - m/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^
2)/a)] + a*(-2 + m)*AppellF1[3/2, 2 - m/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Tan[e + f*x]^2)
*((6*a*b*p*AppellF1[1/2, 1 - m/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*Ta
n[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(-1 + p))/(3*a*AppellF1[1/2, 1 - m/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e
+ f*x]^2)/a)] + (2*b*p*AppellF1[3/2, 1 - m/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + a*(-2 +
m)*AppellF1[3/2, 2 - m/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Tan[e + f*x]^2) + (3*a*AppellF1
[1/2, 1 - m/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*(a + b*Tan[e + f*x]^2
)^p)/(3*a*AppellF1[1/2, 1 - m/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + (2*b*p*AppellF1[3/2, 1 -
m/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + a*(-2 + m)*AppellF1[3/2, 2 - m/2, -p, 5/2, -Tan[
e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Tan[e + f*x]^2) + (6*a*(-1 + m/2)*AppellF1[1/2, 1 - m/2, -p, 3/2, -Tan[e
+ f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(Sec[e + f*x]^2)^(-1 + m/2)*Tan[e + f*x]^2*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(3*a*
AppellF1[1/2, 1 - m/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + (2*b*p*AppellF1[3/2, 1 - m/2, 1 -
p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + a*(-2 + m)*AppellF1[3/2, 2 - m/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2
, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Tan[e + f*x]^2) + (3*a*(Sec[e + f*x]^2)^(-1 + m/2)*Tan[e + f*x]*((2*b*p*AppellF1[3
/2, 1 - m/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3*a) - (2*(1
- m/2)*AppellF1[3/2, 2 - m/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/
3)*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(3*a*AppellF1[1/2, 1 - m/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] +
(2*b*p*AppellF1[3/2, 1 - m/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + a*(-2 + m)*AppellF1[3/2,
2 - m/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Tan[e + f*x]^2) - (3*a*AppellF1[1/2, 1 - m/2, -p
, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(Sec[e + f*x]^2)^(-1 + m/2)*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^
2)^p*(2*(2*b*p*AppellF1[3/2, 1 - m/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + a*(-2 + m)*Appel
lF1[3/2, 2 - m/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x] + 3*a*((2*b*
p*AppellF1[3/2, 1 - m/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3
*a) - (2*(1 - m/2)*AppellF1[3/2, 2 - m/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Ta
n[e + f*x])/3) + Tan[e + f*x]^2*(2*b*p*((-6*b*(1 - p)*AppellF1[5/2, 1 - m/2, 2 - p, 7/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b
*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(5*a) - (6*(1 - m/2)*AppellF1[5/2, 2 - m/2, 1 - p, 7/2, -Tan
[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/5) + a*(-2 + m)*((6*b*p*AppellF1[5/2, 2 - m
/2, 1 - p, 7/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(5*a) - (6*(2 - m/2)*Ap
pellF1[5/2, 3 - m/2, -p, 7/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/5))))/(3*
a*AppellF1[1/2, 1 - m/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + (2*b*p*AppellF1[3/2, 1 - m/2, 1
- p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + a*(-2 + m)*AppellF1[3/2, 2 - m/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]
^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Tan[e + f*x]^2)^2))

Maple [F]

\[\int \left (d \sec \left (f x +e \right )\right )^{m} \left (a +b \tan \left (f x +e \right )^{2}\right )^{p}d x\]

[In]

int((d*sec(f*x+e))^m*(a+b*tan(f*x+e)^2)^p,x)

[Out]

int((d*sec(f*x+e))^m*(a+b*tan(f*x+e)^2)^p,x)

Fricas [F]

\[ \int (d \sec (e+f x))^m \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \, dx=\int { {\left (b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{p} \left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{m} \,d x } \]

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^m*(a+b*tan(f*x+e)^2)^p,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((b*tan(f*x + e)^2 + a)^p*(d*sec(f*x + e))^m, x)

Sympy [F]

\[ \int (d \sec (e+f x))^m \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \, dx=\int \left (d \sec {\left (e + f x \right )}\right )^{m} \left (a + b \tan ^{2}{\left (e + f x \right )}\right )^{p}\, dx \]

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))**m*(a+b*tan(f*x+e)**2)**p,x)

[Out]

Integral((d*sec(e + f*x))**m*(a + b*tan(e + f*x)**2)**p, x)

Maxima [F]

\[ \int (d \sec (e+f x))^m \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \, dx=\int { {\left (b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{p} \left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{m} \,d x } \]

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^m*(a+b*tan(f*x+e)^2)^p,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*tan(f*x + e)^2 + a)^p*(d*sec(f*x + e))^m, x)

Giac [F]

\[ \int (d \sec (e+f x))^m \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \, dx=\int { {\left (b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{p} \left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{m} \,d x } \]

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^m*(a+b*tan(f*x+e)^2)^p,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*tan(f*x + e)^2 + a)^p*(d*sec(f*x + e))^m, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int (d \sec (e+f x))^m \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \, dx=\int {\left (b\,{\mathrm {tan}\left (e+f\,x\right )}^2+a\right )}^p\,{\left (\frac {d}{\cos \left (e+f\,x\right )}\right )}^m \,d x \]

[In]

int((a + b*tan(e + f*x)^2)^p*(d/cos(e + f*x))^m,x)

[Out]

int((a + b*tan(e + f*x)^2)^p*(d/cos(e + f*x))^m, x)